Riješi x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Izračunaj x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 21, najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 7,3.

$$3x+7y=105$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 14.

$$-x+42y=364$$

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$3x+7y=105$$

Oduzmite 7y od obiju strana jednadžbe.

$$3x=-7y+105$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} i -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Supstituirajte -\frac{7y}{3}+35 s x u drugoj jednadžbi, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Pomnožite -1 i -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Dodaj \frac{7y}{3} broju 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Dodajte 35 objema stranama jednadžbe.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Podijelite obje strane jednadžbe s \frac{133}{3}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$y=9$$

Supstituirajte 9 s y u izrazu x=-\frac{7}{3}y+35. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Pomnožite -\frac{7}{3} i 9.

$$x=-21+35$$

Dodaj 35 broju -21.

$$x=14$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=14,y=9$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 21, najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 7,3.

$$3x+7y=105$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 14.

$$-x+42y=364$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=14,y=9$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 21, najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 7,3.

$$3x+7y=105$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 14.

$$-x+42y=364$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Da biste izjednačili 3x i -x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s -1 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Pojednostavnite.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Oduzmite -3x+126y=1092 od -3x-7y=-105 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Dodaj -3x broju 3x. Uvjeti -3x i 3x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Dodaj -7y broju -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Dodaj -105 broju -1092.

$$-133y=-1197$$

Podijelite obje strane sa -133.

$$y=9$$

Supstituirajte 9 s y u izrazu -x+42y=364. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$-x+42\times 9=364$$

Pomnožite 42 i 9.

$$-x+378=364$$

Oduzmite 378 od obiju strana jednadžbe.

$$-x=-14$$

Podijelite obje strane sa -1.

$$x=14$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=14,y=9$$