Riješi x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Izračunaj x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 20, najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 5,4.

$$4x=5y$$

Podijelite obje strane sa 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Pomnožite \frac{1}{4} i 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Supstituirajte \frac{5y}{4} s x u drugoj jednadžbi, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Dodaj -\frac{5y}{4} broju y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Pomnožite obje strane s -4.

$$y=12$$

Supstituirajte 12 s y u izrazu x=\frac{5}{4}y. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Pomnožite \frac{5}{4} i 12.

$$x=15$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=15,y=12$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 20, najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 5,4.

$$4x=5y$$

Oduzmite 5y od obiju strana.

$$4x-5y=0$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 3.

$$y=x-3$$

Oduzmite x od obiju strana.

$$y-x=-3$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=15,y=12$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 20, najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 5,4.

$$4x=5y$$

Oduzmite 5y od obiju strana.

$$4x-5y=0$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 3.

$$y=x-3$$

Oduzmite x od obiju strana.

$$y-x=-3$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Da biste izjednačili 4x i -x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s -1 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Pojednostavnite.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Oduzmite -4x+4y=-12 od -4x+5y=0 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Dodaj -4x broju 4x. Uvjeti -4x i 4x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$5y-4y=12$$

Dodaj 5y broju -4y.

$$y=12$$

Supstituirajte 12 s y u izrazu -x+y=-3. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$-x+12=-3$$

Oduzmite 12 od obiju strana jednadžbe.

$$-x=-15$$

Podijelite obje strane sa -1.

$$x=15$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=15,y=12$$