Riješi x/3+y/4=4;x/2-y/4=1

$$\frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = 4 ; \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 4 } = 1$$

Izračunaj x, y

$$x=6$$

$$y=8$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 12, najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 3,4.

$$4x+3y=48$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 4, najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 2,4.

$$2x-y=4$$

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$4x+3y=48$$

Oduzmite 3y od obiju strana jednadžbe.

$$4x=-3y+48$$

Podijelite obje strane sa 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+48\right)$$

Pomnožite \frac{1}{4} i -3y+48.

$$x=-\frac{3}{4}y+12$$

Supstituirajte -\frac{3y}{4}+12 s x u drugoj jednadžbi, 2x-y=4.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+12\right)-y=4$$

Pomnožite 2 i -\frac{3y}{4}+12.

$$-\frac{3}{2}y+24-y=4$$

Dodaj -\frac{3y}{2} broju -y.

$$-\frac{5}{2}y+24=4$$

Oduzmite 24 od obiju strana jednadžbe.

$$-\frac{5}{2}y=-20$$

Podijelite obje strane jednadžbe s -\frac{5}{2}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$y=8$$

Supstituirajte 8 s y u izrazu x=-\frac{3}{4}y+12. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=-\frac{3}{4}\times 8+12$$

Pomnožite -\frac{3}{4} i 8.

$$x=-6+12$$

Dodaj 12 broju -6.

$$x=6$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=6,y=8$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 12, najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 3,4.

$$4x+3y=48$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 4, najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 2,4.

$$2x-y=4$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 48+\frac{3}{10}\times 4\\\frac{1}{5}\times 48-\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=6,y=8$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 12, najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 3,4.

$$4x+3y=48$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 4, najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 2,4.

$$2x-y=4$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Da biste izjednačili 4x i 2x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 2 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 48,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4$$

Pojednostavnite.

$$8x+6y=96,8x-4y=16$$

Oduzmite 8x-4y=16 od 8x+6y=96 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$8x-8x+6y+4y=96-16$$

Dodaj 8x broju -8x. Uvjeti 8x i -8x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$6y+4y=96-16$$

Dodaj 6y broju 4y.

$$10y=96-16$$

Dodaj 96 broju -16.

$$10y=80$$

Podijelite obje strane sa 10.

$$y=8$$

Supstituirajte 8 s y u izrazu 2x-y=4. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$2x-8=4$$

Dodajte 8 objema stranama jednadžbe.

$$2x=12$$

Podijelite obje strane sa 2.

$$x=6$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=6,y=8$$