Riješi f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Izračunaj f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 33, najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 11,33.

$$3f=g$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Supstituirajte \frac{g}{3} s f u drugoj jednadžbi, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Dodaj \frac{g}{3} broju g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Podijelite obje strane jednadžbe s \frac{4}{3}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$g=30$$

Supstituirajte 30 s g u izrazu f=\frac{1}{3}g. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati f.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Pomnožite \frac{1}{3} i 30.

$$f=10$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$f=10,g=30$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 33, najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 11,33.

$$3f=g$$

Oduzmite g od obiju strana.

$$3f-g=0$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice f i g.

$$f=10,g=30$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Pomnožite obje strane jednadžbe s 33, najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 11,33.

$$3f=g$$

Oduzmite g od obiju strana.

$$3f-g=0$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Da biste izjednačili 3f i f, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 1 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Pojednostavnite.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Oduzmite 3f+3g=120 od 3f-g=0 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Dodaj 3f broju -3f. Uvjeti 3f i -3f se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-g-3g=-120$$

Dodaj -g broju -3g.

$$-4g=-120$$

Podijelite obje strane sa -4.

$$g=30$$

Supstituirajte 30 s g u izrazu f+g=40. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati f.

$$f+30=40$$

Oduzmite 30 od obiju strana jednadžbe.

$$f=10$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$f=10,g=30$$