Riješi 2x/x^2-100=2/15

$$\frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 100 } = \frac { 2 } { 15 }$$

Izračunaj x

$$x=-5$$

$$x=20$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Varijabla x ne može biti jednaka vrijednostima -10,10 jer nije definirano dijeljenje nulom. Pomnožite obje strane jednadžbe s 15\left(x-10\right)\left(x+10\right), najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva x^{2}-100,15.

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Pomnožite 15 i 2 da biste dobili 30.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 2 s x-10.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 2x-20 s x+10 i kombinirali slične izraze.

$$30x=2x^{2}-200$$

Oduzmite 2x^{2} od obiju strana.

$$30x-2x^{2}=-200$$

Dodajte 200 na obje strane.

$$30x-2x^{2}+200=0$$

Podijelite obje strane sa 2.

$$15x-x^{2}+100=0$$

Preuredite polinom da biste ga pretvorili u standardan oblik. Poredajte izraze redoslijedom od najvećeg do najmanjeg eksponenta.

$$-x^{2}+15x+100=0$$

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao -x^{2}+ax+bx+100. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=15 ab=-100=-100$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b pozitivan, pozitivni broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -100 proizvoda.

$$-1,100 -2,50 -4,25 -5,20 -10,10$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$-1+100=99 -2+50=48 -4+25=21 -5+20=15 -10+10=0$$

Rješenje je par koji daje zbroj 15.

$$a=20 b=-5$$

Izrazite -x^{2}+15x+100 kao \left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right).

$$\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right)$$

Faktor -x u prvom i -5 u drugoj grupi.

$$-x\left(x-20\right)-5\left(x-20\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-20 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-20\right)\left(-x-5\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-20=0 i -x-5=0.

$$x=20 x=-5$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Varijabla x ne može biti jednaka vrijednostima -10,10 jer nije definirano dijeljenje nulom. Pomnožite obje strane jednadžbe s 15\left(x-10\right)\left(x+10\right), najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva x^{2}-100,15.

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Pomnožite 15 i 2 da biste dobili 30.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 2 s x-10.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 2x-20 s x+10 i kombinirali slične izraze.

$$30x=2x^{2}-200$$

Oduzmite 2x^{2} od obiju strana.

$$30x-2x^{2}=-200$$

Dodajte 200 na obje strane.

$$30x-2x^{2}+200=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$-2x^{2}+30x+200=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite -2 s a, 30 s b i 200 s c.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrirajte 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

Pomnožite -4 i -2.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+8\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

Pomnožite 8 i 200.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1600}}{2\left(-2\right)}$$

Dodaj 900 broju 1600.

$$x=\frac{-30±\sqrt{2500}}{2\left(-2\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 2500.

$$x=\frac{-30±50}{2\left(-2\right)}$$

Pomnožite 2 i -2.

$$x=\frac{-30±50}{-4}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{-30±50}{-4} kad je ± plus. Dodaj -30 broju 50.

$$x=\frac{20}{-4}$$

Podijelite 20 s -4.

$$x=-5$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{-30±50}{-4} kad je ± minus. Oduzmite 50 od -30.

$$x=-\frac{80}{-4}$$

Podijelite -80 s -4.

$$x=20$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=-5 x=20$$

Koraci za računanje kvadrata

Varijabla x ne može biti jednaka vrijednostima -10,10 jer nije definirano dijeljenje nulom. Pomnožite obje strane jednadžbe s 15\left(x-10\right)\left(x+10\right), najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva x^{2}-100,15.

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Pomnožite 15 i 2 da biste dobili 30.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 2 s x-10.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 2x-20 s x+10 i kombinirali slične izraze.

$$30x=2x^{2}-200$$

Oduzmite 2x^{2} od obiju strana.

$$30x-2x^{2}=-200$$

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+30x=-200$$

Podijelite obje strane sa -2.

$$\frac{-2x^{2}+30x}{-2}=-\frac{200}{-2}$$

Dijeljenjem s -2 poništava se množenje s -2.

$$x^{2}+\frac{30}{-2}x=-\frac{200}{-2}$$

Podijelite 30 s -2.

$$x^{2}-15x=-\frac{200}{-2}$$

Podijelite -200 s -2.

$$x^{2}-15x=100$$

Podijelite -15, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{15}{2}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{15}{2} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{15}{2} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=100+\frac{225}{4}$$

Dodaj 100 broju \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{625}{4}$$

Faktor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{25}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{25}{2}$$

Dodajte \frac{15}{2} objema stranama jednadžbe.

$$x=20 x=-5$$