Riješi frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Izračunaj

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Koraci rješenja

Racionalizirajte nazivnik \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} množenje brojnik i nazivnik 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Razmotrite \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Umnožak se može pretvoriti u razliku kvadrata pomoću sljedećeg pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Kvadrirajte 2. Kvadrirajte \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Oduzmite 5 od 4 da biste dobili -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Pomnožite 2+\sqrt{5} i 2+\sqrt{5} da biste dobili \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Kvadrat od \sqrt{5} je 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Dodajte 4 broju 5 da biste dobili 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Sve podijeljeno s –1 daje suprotno. Da biste pronašli suprotnu vrijednost izraza 9+4\sqrt{5}, pronađite suprotnu verziju svakog člana.

$$-9-4\sqrt{5}$$