Resolver z^2-iz-1=0

$$z ^ { 2 } - i z - 1 = 0$$

Resolver z

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\approx 0.866025404+0.5i$$

$$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\approx -0.866025404+0.5i$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$z^{2}-iz-1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -i e c por -1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{i±\sqrt{\left(-i\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Eleva -i ao cadrado.

$$z=\frac{i±\sqrt{-1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -1.

$$z=\frac{i±\sqrt{-1+4}}{2}$$

Suma -1 a 4.

$$z=\frac{i±\sqrt{3}}{2}$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{i±\sqrt{3}}{2} se ± é máis. Suma i a \sqrt{3}.

$$z=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$$

Divide i+\sqrt{3} entre 2.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{i±\sqrt{3}}{2} se ± é menos. Resta \sqrt{3} de i.

$$z=\frac{-\sqrt{3}+i}{2}$$

Divide i-\sqrt{3} entre 2.

$$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

A ecuación está resolta.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-iz-1=0$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$z^{2}-iz-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Se restas -1 a si mesmo, quédache 0.

$$z^{2}-iz=-\left(-1\right)$$

Resta -1 de 0.

$$z^{2}-iz=1$$

Divide -i, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{2}i. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{2}i en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$z^{2}-iz+\left(-\frac{1}{2}i\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}i\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2}i ao cadrado.

$$z^{2}-iz-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$$

Suma 1 a -\frac{1}{4}.

$$z^{2}-iz-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Factoriza z^{2}-iz-\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}i\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}i\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Simplifica.

$$z-\frac{1}{2}i=\frac{\sqrt{3}}{2} z-\frac{1}{2}i=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Suma \frac{1}{2}i en ambos lados da ecuación.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$