Resolver {8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$8x+2y=46$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$8x=-2y+46$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Substitúe x por \frac{-y+23}{4} na outra ecuación, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Multiplica 7 por \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Suma -\frac{7y}{4} a 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Resta \frac{161}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{27}{5}$$

Substitúe y por \frac{27}{5} en x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Multiplica -\frac{1}{4} por \frac{27}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Suma \frac{23}{4} a -\frac{27}{20} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{22}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Para que 8x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Simplifica.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Resta 56x+24y=376 de 56x+14y=322 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Suma 56x a -56x. 56x e -56x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$14y-24y=322-376$$

Suma 14y a -24y.

$$-10y=322-376$$

Suma 322 a -376.

$$-10y=-54$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Substitúe y por \frac{27}{5} en 7x+3y=47. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Multiplica 3 por \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Resta \frac{81}{5} en ambos lados da ecuación.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$