Resolver z^2=z+1

$$z ^ { 2 } = z + 1$$

Resolver z

$$z = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Resta z en ambos lados.

$$z^{2}-z=1$$

Resta 1 en ambos lados.

$$z^{2}-z-1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -1 e c por -1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -1.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

Suma 1 a 4.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

O contrario de -1 é 1.

$$z=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{1±\sqrt{5}}{2} se ± é máis. Suma 1 a \sqrt{5}.

$$z=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{1±\sqrt{5}}{2} se ± é menos. Resta \sqrt{5} de 1.

$$z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$z=\frac{\sqrt{5}+1}{2} z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

Resta z en ambos lados.

$$z^{2}-z=1$$

Divide -1, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Suma 1 a \frac{1}{4}.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Factoriza z^{2}-z+\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Simplifica.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} z-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Suma \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$z=\frac{\sqrt{5}+1}{2} z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$