Resolver z^2+3z-10=0

$$z ^ { 2 } + 3 z - 10 = 0$$

Resolver z

$$z=-5$$

$$z=2$$

Pasos que usan factorización

Para resolver a ecuación, factoriza z^{2}+3z-10 usando fórmulas z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=3 ab=-10$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

A solución é a parella que fornece a suma 3.

$$a=-2 b=5$$

Reescribe a expresión factorizada \left(z+a\right)\left(z+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve z-2=0 e z+5=0.

$$z=2 z=-5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como z^{2}+az+bz-10. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

A solución é a parella que fornece a suma 3.

$$a=-2 b=5$$

Reescribe z^{2}+3z-10 como \left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right).

$$\left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right)$$

Factoriza z no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$z\left(z-2\right)+5\left(z-2\right)$$

Factoriza o termo común z-2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve z-2=0 e z+5=0.

$$z=2 z=-5$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$z^{2}+3z-10=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por 3 e c por -10 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-10\right)}}{2}$$

Eleva 3 ao cadrado.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-10\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -10.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2}$$

Suma 9 a 40.

$$z=\frac{-3±\sqrt{49}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 49.

$$z=\frac{-3±7}{2}$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{-3±7}{2} se ± é máis. Suma -3 a 7.

$$z=\frac{4}{2}$$

Divide 4 entre 2.

$$z=2$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{-3±7}{2} se ± é menos. Resta 7 de -3.

$$z=-\frac{10}{2}$$

Divide -10 entre 2.

$$z=-5$$

A ecuación está resolta.

$$z=2 z=-5$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+3z-10=0$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$z^{2}+3z-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Se restas -10 a si mesmo, quédache 0.

$$z^{2}+3z=-\left(-10\right)$$

Resta -10 de 0.

$$z^{2}+3z=10$$

Divide 3, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{3}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Suma 10 a \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Factoriza z^{2}+3z+\frac{9}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplifica.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$z=2 z=-5$$