Resolver y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Resolver y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=60$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Suma \frac{x}{3} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Substitúe y por \frac{x}{3} na outra ecuación, y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Suma \frac{x}{3} a 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{10}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=18$$

Substitúe x por 18 en y=\frac{1}{3}x. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Multiplica \frac{1}{3} por 18.

$$y=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=6,x=18$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=60$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=6,x=18$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=60$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Resta y+3x=60 de y-\frac{1}{3}x=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Suma -\frac{x}{3} a -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{10}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=18$$

Substitúe x por 18 en y+3x=60. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+3\times 18=60$$

Multiplica 3 por 18.

$$y+54=60$$

Resta 54 en ambos lados da ecuación.

$$y=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=6,x=18$$