Resolver x=(2x-3)*(2x+3)/4x^2-16x+15

$$x= \frac{ (2x-3) \times (2x+3) }{ 4 { x }^{ 2 } -16x+15 }$$

Resolver x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 7}{4} \approx 3.886000936$$

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}\approx -0.386000936$$

Pasos da solución

Considera \left(2x-3\right)\left(2x+3\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 3 ao cadrado.

$$x=\frac{\left(2x\right)^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Expande \left(2x\right)^{2}.

$$x=\frac{2^{2}x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Calcula 2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$x=\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Resta \frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15} en ambos lados.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}=0$$

Factoriza 4x^{2}-16x+15.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Para sumar ou restar expresións, expándeas para facer que os seus denominadores sexan iguais. Multiplica x por \frac{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Dado que \frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} e \frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} teñen o mesmo denominador, réstaos mediante a resta dos seus numeradores.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Fai as multiplicacións en x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right).

$$\frac{4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Combina como termos en 4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9.

$$\frac{4x^{3}-20x^{2}+15x+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores \frac{3}{2},\frac{5}{2} porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(2x-5\right)\left(2x-3\right).

$$4x^{3}-20x^{2}+15x+9=0$$

Por Teorema da raíz racional, todas as raíces racionais dun polinomio están no formulario \frac{p}{q}, onde p divide o termo constante 9 e q divide o coeficiente primeiro 4. Listar todo os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Localizar esa raíz tentando todos os valores enteiros, comezando desde o menor por valor absoluto. Se non se encontran raíces enteiras, proba fraccións.

$$x=\frac{3}{2}$$

Por Teorema do factor, x-k é un factor do polinomio para cada raíz k. Divide 4x^{3}-20x^{2}+15x+9 entre 2\left(x-\frac{3}{2}\right)=2x-3 para obter 2x^{2}-7x-3. Resolve a ecuación onde o resultado é igual a 0.

$$2x^{2}-7x-3=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 2 por a, -7 por b e -3 por c na fórmula cadrática.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Fai os cálculos.

$$x=\frac{7±\sqrt{73}}{4}$$

Resolve a ecuación 2x^{2}-7x-3=0 cando ± é máis e cando ± é menos.

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

Eliminar os valores aos que non pode ser igual a variable.

$$x\in \emptyset$$

Pon na lista todas as solucións encontradas.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

A variable x non pode ser igual que \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}$$