Resolver x-2y=-2;x+2y=10

$$x - 2 y = - 2 ; x + 2 y = 10$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-2y=-2,x+2y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-2y=-2$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=2y-2$$

Substitúe x por -2+2y na outra ecuación, x+2y=10.

$$2y-2+2y=10$$

Suma 2y a 2y.

$$4y-2=10$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$4y=12$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=2y-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\times 3-2$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=6-2$$

Suma -2 a 6.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-2y=-2,x+2y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-2y=-2,x+2y=10$$

Resta x+2y=10 de x-2y=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x-2y-2y=-2-10$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-2y=-2-10$$

Suma -2y a -2y.

$$-4y=-2-10$$

Suma -2 a -10.

$$-4y=-12$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x+2y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+2\times 3=10$$

Multiplica 2 por 3.

$$x+6=10$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=3$$