Resolver x^4=(2x-3)^2

$$x ^ { 4 } = ( 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Resolver x (complex solution)

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-\sqrt{2}i+1\approx 1-1.414213562i$$

$$x=1+\sqrt{2}i\approx 1+1.414213562i$$

Pasos da solución

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Resta 4x^{2} en ambos lados.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Engadir 12x en ambos lados.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Resta 9 en ambos lados.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

Por Teorema da raíz racional, todas as raíces racionais dun polinomio están no formulario \frac{p}{q}, onde p divide o termo constante -9 e q divide o coeficiente primeiro 1. Listar todo os candidatos \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Localizar esa raíz tentando todos os valores enteiros, comezando desde o menor por valor absoluto. Se non se encontran raíces enteiras, proba fraccións.

$$x=1$$

Por Teorema do factor, x-k é un factor do polinomio para cada raíz k. Divide x^{4}-4x^{2}+12x-9 entre x-1 para obter x^{3}+x^{2}-3x+9. Resolve a ecuación onde o resultado é igual a 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

Por Teorema da raíz racional, todas as raíces racionais dun polinomio están no formulario \frac{p}{q}, onde p divide o termo constante 9 e q divide o coeficiente primeiro 1. Listar todo os candidatos \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Localizar esa raíz tentando todos os valores enteiros, comezando desde o menor por valor absoluto. Se non se encontran raíces enteiras, proba fraccións.

$$x=-3$$

Por Teorema do factor, x-k é un factor do polinomio para cada raíz k. Divide x^{3}+x^{2}-3x+9 entre x+3 para obter x^{2}-2x+3. Resolve a ecuación onde o resultado é igual a 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 1 por a, -2 por b e 3 por c na fórmula cadrática.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Fai os cálculos.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Resolve a ecuación x^{2}-2x+3=0 cando ± é máis e cando ± é menos.

$$x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Pon na lista todas as solucións encontradas.

$$x=1 x=-3 x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Resolver x

$$x=-3$$

$$x=1$$

Pasos da solución

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Resta 4x^{2} en ambos lados.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Engadir 12x en ambos lados.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Resta 9 en ambos lados.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

Por Teorema da raíz racional, todas as raíces racionais dun polinomio están no formulario \frac{p}{q}, onde p divide o termo constante -9 e q divide o coeficiente primeiro 1. Listar todo os candidatos \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Localizar esa raíz tentando todos os valores enteiros, comezando desde o menor por valor absoluto. Se non se encontran raíces enteiras, proba fraccións.

$$x=1$$

Por Teorema do factor, x-k é un factor do polinomio para cada raíz k. Divide x^{4}-4x^{2}+12x-9 entre x-1 para obter x^{3}+x^{2}-3x+9. Resolve a ecuación onde o resultado é igual a 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

Por Teorema da raíz racional, todas as raíces racionais dun polinomio están no formulario \frac{p}{q}, onde p divide o termo constante 9 e q divide o coeficiente primeiro 1. Listar todo os candidatos \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Localizar esa raíz tentando todos os valores enteiros, comezando desde o menor por valor absoluto. Se non se encontran raíces enteiras, proba fraccións.

$$x=-3$$

Por Teorema do factor, x-k é un factor do polinomio para cada raíz k. Divide x^{3}+x^{2}-3x+9 entre x+3 para obter x^{2}-2x+3. Resolve a ecuación onde o resultado é igual a 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 1 por a, -2 por b e 3 por c na fórmula cadrática.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Fai os cálculos.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Dado que a raíz cadrada dun número negativo non se define no campo real, non hai solucións.

$$x\in \emptyset$$

Pon na lista todas as solucións encontradas.

$$x=1 x=-3$$