Resolver x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Resolver para x

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

Para resolver a desigualdade, factoriza o lado esquerdo. O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-5=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 1 por a, -2 por b e -5 por c na fórmula cadrática.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Fai os cálculos.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Resolve a ecuación x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} cando ± é máis e cando ± é menos.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Reescribe a desigualdade utilizando as solucións obtidas.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

Para que o produto sexa negativo, x-\left(\sqrt{6}+1\right) e x-\left(1-\sqrt{6}\right) teñen que ser de signo oposto. Considera o caso cando x-\left(\sqrt{6}+1\right) é positivo e x-\left(1-\sqrt{6}\right) negativo.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

Isto é falso para calquera x.

$$x\in \emptyset$$

Considera o caso cando x-\left(1-\sqrt{6}\right) é positivo e x-\left(\sqrt{6}+1\right) negativo.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

A solución que satisfai ambas as dúas desigualdades é x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

A solución final é a unión das solucións obtidas.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$