Resolver x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Resolver x

$$x=6$$

$$x=7$$

Pasos que usan factorización

Para resolver a ecuación, factoriza x^{2}-13x+42 usando fórmulas x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-13 ab=42$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

A solución é a parella que fornece a suma -13.

$$a=-7 b=-6$$

Reescribe a expresión factorizada \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-7=0 e x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx+42. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

A solución é a parella que fornece a suma -13.

$$a=-7 b=-6$$

Reescribe x^{2}-13x+42 como \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Factoriza x no primeiro e -6 no grupo segundo.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Factoriza o termo común x-7 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-7=0 e x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -13 e c por 42 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Eleva -13 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Multiplica -4 por 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Suma 169 a -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

O contrario de -13 é 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{13±1}{2} se ± é máis. Suma 13 a 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Divide 14 entre 2.

$$x=7$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{13±1}{2} se ± é menos. Resta 1 de 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Divide 12 entre 2.

$$x=6$$

A ecuación está resolta.

$$x=7 x=6$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Resta 42 en ambos lados da ecuación.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Se restas 42 a si mesmo, quédache 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Divide -13, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{13}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{13}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{13}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Suma -42 a \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Factoriza x^{2}-13x+\frac{169}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Suma \frac{13}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=7 x=6$$