Resolver x^2+16x-512=0

$$x ^ { 2 } + 16 x - 512 = 0$$

Resolver x

$$x=-32$$

$$x=16$$

Pasos que usan factorización

Para resolver a ecuación, factoriza x^{2}+16x-512 usando fórmulas x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=16 ab=-512$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

A solución é a parella que fornece a suma 16.

$$a=-16 b=32$$

Reescribe a expresión factorizada \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-16=0 e x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx-512. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=16 ab=1\left(-512\right)=-512$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

A solución é a parella que fornece a suma 16.

$$a=-16 b=32$$

Reescribe x^{2}+16x-512 como \left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right)$$

Factoriza x no primeiro e 32 no grupo segundo.

$$x\left(x-16\right)+32\left(x-16\right)$$

Factoriza o termo común x-16 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-16=0 e x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por 16 e c por -512 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-512\right)}}{2}$$

Eleva 16 ao cadrado.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-512\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -512.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+2048}}{2}$$

Suma 256 a 2048.

$$x=\frac{-16±\sqrt{2304}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 2304.

$$x=\frac{-16±48}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-16±48}{2} se ± é máis. Suma -16 a 48.

$$x=\frac{32}{2}$$

Divide 32 entre 2.

$$x=16$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-16±48}{2} se ± é menos. Resta 48 de -16.

$$x=-\frac{64}{2}$$

Divide -64 entre 2.

$$x=-32$$

A ecuación está resolta.

$$x=16 x=-32$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Suma 512 en ambos lados da ecuación.

$$x^{2}+16x-512-\left(-512\right)=-\left(-512\right)$$

Se restas -512 a si mesmo, quédache 0.

$$x^{2}+16x=-\left(-512\right)$$

Resta -512 de 0.

$$x^{2}+16x=512$$

Divide 16, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter 8. Despois, suma o cadrado de 8 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+16x+8^{2}=512+8^{2}$$

Eleva 8 ao cadrado.

$$x^{2}+16x+64=512+64$$

Suma 512 a 64.

$$x^{2}+16x+64=576$$

Factoriza x^{2}+16x+64. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=576$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

Simplifica.

$$x+8=24 x+8=-24$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$x=16 x=-32$$