Resolver x^{2}+(x^{2}-2x)^2=10+(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2

$$x ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } = 10 + ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Resolver x

$$x=-1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Para elevar unha potencia a outra potencia, multiplica os expoñentes. Multiplica 2 e 2 para obter 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Para multiplicar potencias da mesma base, suma os seus expoñentes. Suma 2 e 1 para obter 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Combina x^{2} e 4x^{2} para obter 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Suma 10 e 1 para obter 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Eleva x^{2}-2x-3 ao cadrado.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Combina x^{2} e -2x^{2} para obter -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Combina 2x e 12x para obter 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Suma 11 e 9 para obter 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Resta 20 en ambos lados.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Engadir x^{2} en ambos lados.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Combina 5x^{2} e x^{2} para obter 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Resta 14x en ambos lados.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Resta x^{4} en ambos lados.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Combina x^{4} e -x^{4} para obter 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Engadir 4x^{3} en ambos lados.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Combina -4x^{3} e 4x^{3} para obter 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Divide ambos lados entre 2.

$$3x^{2}-10-7x=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$3x^{2}-7x-10=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3x^{2}+ax+bx-10. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-7 ab=3\left(-10\right)=-30$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -7.

$$a=-10 b=3$$

Reescribe 3x^{2}-7x-10 como \left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right).

$$\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)$$

Factorizar x en 3x^{2}-10x.

$$x\left(3x-10\right)+3x-10$$

Factoriza o termo común 3x-10 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x-10\right)\left(x+1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3x-10=0 e x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Para elevar unha potencia a outra potencia, multiplica os expoñentes. Multiplica 2 e 2 para obter 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Para multiplicar potencias da mesma base, suma os seus expoñentes. Suma 2 e 1 para obter 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Combina x^{2} e 4x^{2} para obter 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Suma 10 e 1 para obter 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Eleva x^{2}-2x-3 ao cadrado.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Combina x^{2} e -2x^{2} para obter -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Combina 2x e 12x para obter 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Suma 11 e 9 para obter 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Resta 20 en ambos lados.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Engadir x^{2} en ambos lados.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Combina 5x^{2} e x^{2} para obter 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Resta 14x en ambos lados.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Resta x^{4} en ambos lados.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Combina x^{4} e -x^{4} para obter 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Engadir 4x^{3} en ambos lados.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Combina -4x^{3} e 4x^{3} para obter 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$6x^{2}-14x-20=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 6, b por -14 e c por -20 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Eleva -14 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Multiplica -4 por 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Multiplica -24 por -20.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 6}$$

Suma 196 a 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 6}$$

Obtén a raíz cadrada de 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 6}$$

O contrario de -14 é 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 6}$$

Multiplica 2 por 6.

$$x=\frac{14±26}{12}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{14±26}{12} se ± é máis. Suma 14 a 26.

$$x=\frac{40}{12}$$

Reduce a fracción \frac{40}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=\frac{10}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{14±26}{12} se ± é menos. Resta 26 de 14.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Divide -12 entre 12.

$$x=-1$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Pasos para completar o cadrado

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Para elevar unha potencia a outra potencia, multiplica os expoñentes. Multiplica 2 e 2 para obter 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Para multiplicar potencias da mesma base, suma os seus expoñentes. Suma 2 e 1 para obter 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Combina x^{2} e 4x^{2} para obter 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Suma 10 e 1 para obter 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Eleva x^{2}-2x-3 ao cadrado.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Combina x^{2} e -2x^{2} para obter -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Combina 2x e 12x para obter 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Suma 11 e 9 para obter 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Engadir x^{2} en ambos lados.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}+x^{2}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Combina 5x^{2} e x^{2} para obter 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Resta 14x en ambos lados.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x=20+x^{4}-4x^{3}$$

Resta x^{4} en ambos lados.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x-x^{4}=20-4x^{3}$$

Combina x^{4} e -x^{4} para obter 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x=20-4x^{3}$$

Engadir 4x^{3} en ambos lados.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x+4x^{3}=20$$

Combina -4x^{3} e 4x^{3} para obter 0.

$$6x^{2}-14x=20$$

Divide ambos lados entre 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{20}{6}$$

A división entre 6 desfai a multiplicación por 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{20}{6}$$

Reduce a fracción \frac{-14}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{20}{6}$$

Reduce a fracción \frac{20}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{10}{3}$$

Divide -\frac{7}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{7}{6}. Despois, suma o cadrado de -\frac{7}{6} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{6} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

Suma \frac{10}{3} a \frac{49}{36} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{169}{36}$$

Factoriza x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{13}{6}$$

Suma \frac{7}{6} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$