Resolver x:y=7:3text{con}x-y=13

$$x : y = 7 : 3 \text { con } x - y = 13$$

Resolver x, y

$$x = \frac{91}{4} = 22\frac{3}{4} = 22.75$$

$$y = \frac{39}{4} = 9\frac{3}{4} = 9.75$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. A variable y non pode ser igual a 0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3y, o mínimo común denominador de y,3.

$$3x=7y$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\times 7y$$

Multiplica \frac{1}{3} por 7y.

$$x=\frac{7}{3}y$$

Substitúe x por \frac{7y}{3} na outra ecuación, x-y=13.

$$\frac{7}{3}y-y=13$$

Suma \frac{7y}{3} a -y.

$$\frac{4}{3}y=13$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{4}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{39}{4}$$

Substitúe y por \frac{39}{4} en x=\frac{7}{3}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{7}{3}\times \frac{39}{4}$$

Multiplica \frac{7}{3} por \frac{39}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{91}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{91}{4},y=\frac{39}{4}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. A variable y non pode ser igual a 0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3y, o mínimo común denominador de y,3.

$$3x=7y$$

Resta 7y en ambos lados.

$$3x-7y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-7y=0,x-y=13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-7\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-7\right)}&-\frac{-7}{3\left(-1\right)-\left(-7\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-7\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{7}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\times 13\\\frac{3}{4}\times 13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{4}\\\frac{39}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{91}{4},y=\frac{39}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. A variable y non pode ser igual a 0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3y, o mínimo común denominador de y,3.

$$3x=7y$$

Resta 7y en ambos lados.

$$3x-7y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-7y=0,x-y=13$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x-7y=0,3x+3\left(-1\right)y=3\times 13$$

Simplifica.

$$3x-7y=0,3x-3y=39$$

Resta 3x-3y=39 de 3x-7y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-7y+3y=-39$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-7y+3y=-39$$

Suma -7y a 3y.

$$-4y=-39$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=\frac{39}{4}$$

Substitúe y por \frac{39}{4} en x-y=13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\frac{39}{4}=13$$

Suma \frac{39}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{91}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{91}{4},y=\frac{39}{4}$$