Resolver x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+3y=6$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=-3y+6$$

Substitúe x por -3y+6 na outra ecuación, 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Multiplica 5 por -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Suma -15y a -2y.

$$-17y+30=13$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$-17y=-17$$

Divide ambos lados entre -17.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=-3y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3+6$$

Suma 6 a -3.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Para que x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Simplifica.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Resta 5x-2y=13 de 5x+15y=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y+2y=30-13$$

Suma 15y a 2y.

$$17y=30-13$$

Suma 30 a -13.

$$17y=17$$

Divide ambos lados entre 17.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en 5x-2y=13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-2=13$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$5x=15$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$