Resolver x+2y=12,12=9x-2y

$$x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

Resolver x, y

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$9x-2y=12$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=12$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+12$$

Substitúe x por -2y+12 na outra ecuación, 9x-2y=12.

$$9\left(-2y+12\right)-2y=12$$

Multiplica 9 por -2y+12.

$$-18y+108-2y=12$$

Suma -18y a -2y.

$$-20y+108=12$$

Resta 108 en ambos lados da ecuación.

$$-20y=-96$$

Divide ambos lados entre -20.

$$y=\frac{24}{5}$$

Substitúe y por \frac{24}{5} en x=-2y+12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{24}{5}+12$$

Multiplica -2 por \frac{24}{5}.

$$x=-\frac{48}{5}+12$$

Suma 12 a -\frac{48}{5}.

$$x=\frac{12}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$9x-2y=12$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 9}&-\frac{2}{-2-2\times 9}\\-\frac{9}{-2-2\times 9}&\frac{1}{-2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\times 12\\\frac{9}{20}\times 12-\frac{1}{20}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{24}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$9x-2y=12$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Para que x e 9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 9 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$9x+9\times 2y=9\times 12,9x-2y=12$$

Simplifica.

$$9x+18y=108,9x-2y=12$$

Resta 9x-2y=12 de 9x+18y=108 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$9x-9x+18y+2y=108-12$$

Suma 9x a -9x. 9x e -9x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$18y+2y=108-12$$

Suma 18y a 2y.

$$20y=108-12$$

Suma 108 a -12.

$$20y=96$$

Divide ambos lados entre 20.

$$y=\frac{24}{5}$$

Substitúe y por \frac{24}{5} en 9x-2y=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$9x-2\times \frac{24}{5}=12$$

Multiplica -2 por \frac{24}{5}.

$$9x-\frac{48}{5}=12$$

Suma \frac{48}{5} en ambos lados da ecuación.

$$9x=\frac{108}{5}$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{12}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$