Resolver x+2y=1,3x-y=17

$$x + 2 y = 1,3 x - y = 17$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=1,3x-y=17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=1$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+1$$

Substitúe x por -2y+1 na outra ecuación, 3x-y=17.

$$3\left(-2y+1\right)-y=17$$

Multiplica 3 por -2y+1.

$$-6y+3-y=17$$

Suma -6y a -y.

$$-7y+3=17$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-7y=14$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=-2y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-2\right)+1$$

Multiplica -2 por -2.

$$x=4+1$$

Suma 1 a 4.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=1,3x-y=17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}+\frac{2}{7}\times 17\\\frac{3}{7}-\frac{1}{7}\times 17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=1,3x-y=17$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\times 2y=3,3x-y=17$$

Simplifica.

$$3x+6y=3,3x-y=17$$

Resta 3x-y=17 de 3x+6y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+6y+y=3-17$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y+y=3-17$$

Suma 6y a y.

$$7y=3-17$$

Suma 3 a -17.

$$7y=-14$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en 3x-y=17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-\left(-2\right)=17$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$3x=15$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-2$$