Resolver x+2y=-1;2x-3y=12

$$x + 2 y = - 1 ; 2 x - 3 y = 12$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=-1$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y-1$$

Substitúe x por -2y-1 na outra ecuación, 2x-3y=12.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

Multiplica 2 por -2y-1.

$$-4y-2-3y=12$$

Suma -4y a -3y.

$$-7y-2=12$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$-7y=14$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=-2y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

Multiplica -2 por -2.

$$x=4-1$$

Suma -1 a 4.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Simplifica.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Resta 2x-3y=12 de 2x+4y=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y+3y=-2-12$$

Suma 4y a 3y.

$$7y=-2-12$$

Suma -2 a -12.

$$7y=-14$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en 2x-3y=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

Multiplica -3 por -2.

$$2x+6=12$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$2x=6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-2$$