Resolver x+1=sqrt{x+2}

$$x + 1 = \sqrt { x + 2 }$$

Resolver x

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618033989$$

Pasos da solución

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+2} á potencia de 2 e obtén x+2.

$$x^{2}+2x+1=x+2$$

Resta x en ambos lados.

$$x^{2}+2x+1-x=2$$

Combina 2x e -x para obter x.

$$x^{2}+x+1=2$$

Resta 2 en ambos lados.

$$x^{2}+x+1-2=0$$

Resta 2 de 1 para obter -1.

$$x^{2}+x-1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por 1 e c por -1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Eleva 1 ao cadrado.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2}$$

Suma 1 a 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2} se ± é máis. Suma -1 a \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2} se ± é menos. Resta \sqrt{5} de -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$

Substitúe x por \frac{\sqrt{5}-1}{2} na ecuación x+1=\sqrt{x+2}.

$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}+2}$$

Simplifica. O valor x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} cumpre a ecuación.

$$\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Substitúe x por \frac{-\sqrt{5}-1}{2} na ecuación x+1=\sqrt{x+2}.

$$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+1=\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+2}$$

Simplifica. O valor x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} non cumpre a ecuación porque a parte esquerda e a dereita teñen signos contrarios.

$$-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}=-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)$$

A ecuación x+1=\sqrt{x+2} ten unha solución única.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$