Resolver x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Resolver x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3.166666667$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combina 6x e 9x para obter 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combina 15x e -2x para obter 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Suma 3 e 4 para obter 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Resta 6x^{2} en ambos lados.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Engadir 12 en ambos lados.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Suma 7 e 12 para obter 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -6x^{2}+ax+bx+19. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

A solución é a parella que fornece a suma 13.

$$a=19 b=-6$$

Reescribe -6x^{2}+13x+19 como \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Factoriza -x no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Factoriza o termo común 6x-19 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 6x-19=0 e -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combina 6x e 9x para obter 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combina 15x e -2x para obter 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Suma 3 e 4 para obter 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Resta 6x^{2} en ambos lados.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Engadir 12 en ambos lados.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Suma 7 e 12 para obter 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -6, b por 13 e c por 19 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Eleva 13 ao cadrado.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplica -4 por -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplica 24 por 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Suma 169 a 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Multiplica 2 por -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-13±25}{-12} se ± é máis. Suma -13 a 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Divide 12 entre -12.

$$x=-1$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-13±25}{-12} se ± é menos. Resta 25 de -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Reduce a fracción \frac{-38}{-12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

A ecuación está resolta.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Pasos para completar o cadrado

Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combina 6x e 9x para obter 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combina 15x e -2x para obter 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Suma 3 e 4 para obter 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Resta 6x^{2} en ambos lados.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Resta 7 en ambos lados.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Resta 7 de -12 para obter -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Divide ambos lados entre -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

A división entre -6 desfai a multiplicación por -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Divide 13 entre -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Divide -19 entre -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Divide -\frac{13}{6}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{13}{12}. Despois, suma o cadrado de -\frac{13}{12} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{13}{12} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Suma \frac{19}{6} a \frac{169}{144} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Factoriza x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Suma \frac{13}{12} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$