Resolver t^2-t-240=0

$$t ^ { 2 } - t - 240 = 0$$

Resolver t

$$t=-15$$

$$t=16$$

Pasos que usan factorización

Para resolver a ecuación, factoriza t^{2}-t-240 usando fórmulas t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-1 ab=-240$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -1.

$$a=-16 b=15$$

Reescribe a expresión factorizada \left(t+a\right)\left(t+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(t-16\right)\left(t+15\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve t-16=0 e t+15=0.

$$t=16 t=-15$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como t^{2}+at+bt-240. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-1 ab=1\left(-240\right)=-240$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -1.

$$a=-16 b=15$$

Reescribe t^{2}-t-240 como \left(t^{2}-16t\right)+\left(15t-240\right).

$$\left(t^{2}-16t\right)+\left(15t-240\right)$$

Factoriza t no primeiro e 15 no grupo segundo.

$$t\left(t-16\right)+15\left(t-16\right)$$

Factoriza o termo común t-16 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(t-16\right)\left(t+15\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve t-16=0 e t+15=0.

$$t=16 t=-15$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$t^{2}-t-240=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -1 e c por -240 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-240\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -240.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2}$$

Suma 1 a 960.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 961.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±31}{2}$$

O contrario de -1 é 1.

$$t=\frac{1±31}{2}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{1±31}{2} se ± é máis. Suma 1 a 31.

$$t=\frac{32}{2}$$

Divide 32 entre 2.

$$t=16$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{1±31}{2} se ± é menos. Resta 31 de 1.

$$t=-\frac{30}{2}$$

Divide -30 entre 2.

$$t=-15$$

A ecuación está resolta.

$$t=16 t=-15$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-t-240=0$$

Suma 240 en ambos lados da ecuación.

$$t^{2}-t-240-\left(-240\right)=-\left(-240\right)$$

Se restas -240 a si mesmo, quédache 0.

$$t^{2}-t=-\left(-240\right)$$

Resta -240 de 0.

$$t^{2}-t=240$$

Divide -1, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$t^{2}-t+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=240+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$t^{2}-t+\frac{1}{4}=240+\frac{1}{4}$$

Suma 240 a \frac{1}{4}.

$$t^{2}-t+\frac{1}{4}=\frac{961}{4}$$

Factoriza t^{2}-t+\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

Simplifica.

$$t-\frac{1}{2}=\frac{31}{2} t-\frac{1}{2}=-\frac{31}{2}$$

Suma \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$t=16 t=-15$$