Resolver t^2-24t-180=0

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

Resolver t

$$t=-6$$

$$t=30$$

Pasos que usan factorización

Para resolver a ecuación, factoriza t^{2}-24t-180 usando fórmulas t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-24 ab=-180$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

A solución é a parella que fornece a suma -24.

$$a=-30 b=6$$

Reescribe a expresión factorizada \left(t+a\right)\left(t+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve t-30=0 e t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como t^{2}+at+bt-180. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

A solución é a parella que fornece a suma -24.

$$a=-30 b=6$$

Reescribe t^{2}-24t-180 como \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right).

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

Factoriza t no primeiro e 6 no grupo segundo.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

Factoriza o termo común t-30 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve t-30=0 e t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -24 e c por -180 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Eleva -24 ao cadrado.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

Suma 576 a 720.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 1296.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

O contrario de -24 é 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{24±36}{2} se ± é máis. Suma 24 a 36.

$$t=\frac{60}{2}$$

Divide 60 entre 2.

$$t=30$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{24±36}{2} se ± é menos. Resta 36 de 24.

$$t=-\frac{12}{2}$$

Divide -12 entre 2.

$$t=-6$$

A ecuación está resolta.

$$t=30 t=-6$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Suma 180 en ambos lados da ecuación.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Se restas -180 a si mesmo, quédache 0.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

Resta -180 de 0.

$$t^{2}-24t=180$$

Divide -24, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -12. Despois, suma o cadrado de -12 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

Eleva -12 ao cadrado.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

Suma 180 a 144.

$$t^{2}-24t+144=324$$

Factoriza t^{2}-24t+144. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Simplifica.

$$t-12=18 t-12=-18$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$t=30 t=-6$$