Resolver t^2+5t-24=0

$$t ^ { 2 } + 5 t - 24 = 0$$

Resolver t

$$t=-8$$

$$t=3$$

Pasos que usan factorización

Para resolver a ecuación, factoriza t^{2}+5t-24 usando fórmulas t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=5 ab=-24$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

A solución é a parella que fornece a suma 5.

$$a=-3 b=8$$

Reescribe a expresión factorizada \left(t+a\right)\left(t+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(t-3\right)\left(t+8\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve t-3=0 e t+8=0.

$$t=3 t=-8$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como t^{2}+at+bt-24. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

A solución é a parella que fornece a suma 5.

$$a=-3 b=8$$

Reescribe t^{2}+5t-24 como \left(t^{2}-3t\right)+\left(8t-24\right).

$$\left(t^{2}-3t\right)+\left(8t-24\right)$$

Factoriza t no primeiro e 8 no grupo segundo.

$$t\left(t-3\right)+8\left(t-3\right)$$

Factoriza o termo común t-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(t-3\right)\left(t+8\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve t-3=0 e t+8=0.

$$t=3 t=-8$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$t^{2}+5t-24=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por 5 e c por -24 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

Eleva 5 ao cadrado.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -24.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2}$$

Suma 25 a 96.

$$t=\frac{-5±\sqrt{121}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 121.

$$t=\frac{-5±11}{2}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{-5±11}{2} se ± é máis. Suma -5 a 11.

$$t=\frac{6}{2}$$

Divide 6 entre 2.

$$t=3$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{-5±11}{2} se ± é menos. Resta 11 de -5.

$$t=-\frac{16}{2}$$

Divide -16 entre 2.

$$t=-8$$

A ecuación está resolta.

$$t=3 t=-8$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$t^{2}+5t-24=0$$

Suma 24 en ambos lados da ecuación.

$$t^{2}+5t-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Se restas -24 a si mesmo, quédache 0.

$$t^{2}+5t=-\left(-24\right)$$

Resta -24 de 0.

$$t^{2}+5t=24$$

Divide 5, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{5}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$t^{2}+5t+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$t^{2}+5t+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Suma 24 a \frac{25}{4}.

$$t^{2}+5t+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Factoriza t^{2}+5t+\frac{25}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(t+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplifica.

$$t+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} t+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Resta \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$t=3 t=-8$$