Resolver r^2+2r-48=0

$$r ^ { 2 } + 2 r - 48 = 0$$

Resolver r

$$r=-8$$

$$r=6$$

Pasos que usan factorización

Para resolver a ecuación, factoriza r^{2}+2r-48 usando fórmulas r^{2}+\left(a+b\right)r+ab=\left(r+a\right)\left(r+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=2 ab=-48$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

A solución é a parella que fornece a suma 2.

$$a=-6 b=8$$

Reescribe a expresión factorizada \left(r+a\right)\left(r+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(r-6\right)\left(r+8\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve r-6=0 e r+8=0.

$$r=6 r=-8$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como r^{2}+ar+br-48. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=2 ab=1\left(-48\right)=-48$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

A solución é a parella que fornece a suma 2.

$$a=-6 b=8$$

Reescribe r^{2}+2r-48 como \left(r^{2}-6r\right)+\left(8r-48\right).

$$\left(r^{2}-6r\right)+\left(8r-48\right)$$

Factoriza r no primeiro e 8 no grupo segundo.

$$r\left(r-6\right)+8\left(r-6\right)$$

Factoriza o termo común r-6 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(r-6\right)\left(r+8\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve r-6=0 e r+8=0.

$$r=6 r=-8$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$r^{2}+2r-48=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por 2 e c por -48 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-48\right)}}{2}$$

Eleva 2 ao cadrado.

$$r=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-48\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -48.

$$r=\frac{-2±\sqrt{4+192}}{2}$$

Suma 4 a 192.

$$r=\frac{-2±\sqrt{196}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 196.

$$r=\frac{-2±14}{2}$$

Agora resolve a ecuación r=\frac{-2±14}{2} se ± é máis. Suma -2 a 14.

$$r=\frac{12}{2}$$

Divide 12 entre 2.

$$r=6$$

Agora resolve a ecuación r=\frac{-2±14}{2} se ± é menos. Resta 14 de -2.

$$r=-\frac{16}{2}$$

Divide -16 entre 2.

$$r=-8$$

A ecuación está resolta.

$$r=6 r=-8$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$r^{2}+2r-48=0$$

Suma 48 en ambos lados da ecuación.

$$r^{2}+2r-48-\left(-48\right)=-\left(-48\right)$$

Se restas -48 a si mesmo, quédache 0.

$$r^{2}+2r=-\left(-48\right)$$

Resta -48 de 0.

$$r^{2}+2r=48$$

Divide 2, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter 1. Despois, suma o cadrado de 1 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$r^{2}+2r+1^{2}=48+1^{2}$$

Eleva 1 ao cadrado.

$$r^{2}+2r+1=48+1$$

Suma 48 a 1.

$$r^{2}+2r+1=49$$

Factoriza r^{2}+2r+1. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+1\right)^{2}=49$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(r+1\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Simplifica.

$$r+1=7 r+1=-7$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$r=6 r=-8$$