Resolver n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Resolver n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Pasos que usan factorización

Para resolver a ecuación, factoriza n^{2}-n-210 usando fórmulas n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -1.

$$a=-15 b=14$$

Reescribe a expresión factorizada \left(n+a\right)\left(n+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve n-15=0 e n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como n^{2}+an+bn-210. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -1.

$$a=-15 b=14$$

Reescribe n^{2}-n-210 como \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Factoriza n no primeiro e 14 no grupo segundo.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Factoriza o termo común n-15 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve n-15=0 e n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$n^{2}-n-210=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -1 e c por -210 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Suma 1 a 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

O contrario de -1 é 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{1±29}{2} se ± é máis. Suma 1 a 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Divide 30 entre 2.

$$n=15$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{1±29}{2} se ± é menos. Resta 29 de 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Divide -28 entre 2.

$$n=-14$$

A ecuación está resolta.

$$n=15 n=-14$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Suma 210 en ambos lados da ecuación.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Se restas -210 a si mesmo, quédache 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Resta -210 de 0.

$$n^{2}-n=210$$

Divide -1, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Suma 210 a \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Factoriza n^{2}-n+\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Suma \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$n=15 n=-14$$