Resolver n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Resolver para n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Pasos que usan fórmula cadrática

Calcula 2009 á potencia de 2 e obtén 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

Para resolver a desigualdade, factoriza o lado esquerdo. O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 1 por a, -4019 por b e 4036081 por c na fórmula cadrática.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Fai os cálculos.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Resolve a ecuación n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} cando ± é máis e cando ± é menos.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Reescribe a desigualdade utilizando as solucións obtidas.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

Para que o produto sexa ≤0, un dos valores n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} e n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} ten que ser ≥0 e o outro ten que ser ≤0. Considera o caso cando n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 e n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Isto é falso para calquera n.

$$n\in \emptyset$$

Considera o caso cando n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 e n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

A solución que satisfai ambas as dúas desigualdades é n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

A solución final é a unión das solucións obtidas.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$