Resolver n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Resolver n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Pasos que usan factorización

Para resolver a ecuación, factoriza n^{2}-11n-60 usando fórmulas n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

A solución é a parella que fornece a suma -11.

$$a=-15 b=4$$

Reescribe a expresión factorizada \left(n+a\right)\left(n+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve n-15=0 e n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como n^{2}+an+bn-60. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

A solución é a parella que fornece a suma -11.

$$a=-15 b=4$$

Reescribe n^{2}-11n-60 como \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Factoriza n no primeiro e 4 no grupo segundo.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Factoriza o termo común n-15 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve n-15=0 e n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -11 e c por -60 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Eleva -11 ao cadrado.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Suma 121 a 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

O contrario de -11 é 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{11±19}{2} se ± é máis. Suma 11 a 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Divide 30 entre 2.

$$n=15$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{11±19}{2} se ± é menos. Resta 19 de 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Divide -8 entre 2.

$$n=-4$$

A ecuación está resolta.

$$n=15 n=-4$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Suma 60 en ambos lados da ecuación.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Se restas -60 a si mesmo, quédache 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Resta -60 de 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Divide -11, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{11}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{11}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Suma 60 a \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Factoriza n^{2}-11n+\frac{121}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Suma \frac{11}{2} en ambos lados da ecuación.

$$n=15 n=-4$$