Resolver f(x)=4x+1/4x-5

$$f ( x ) = 4 x + \frac { 1 } { 4 x - 5 }$$

Calcular

$$\frac{16x^{2}-20x+1}{4x-5}$$

Pasos de solución curta

Para sumar ou restar expresións, expándeas para facer que os seus denominadores sexan iguais. Multiplica 4x por \frac{4x-5}{4x-5}.

$$\frac{4x\left(4x-5\right)}{4x-5}+\frac{1}{4x-5}$$

Dado que \frac{4x\left(4x-5\right)}{4x-5} e \frac{1}{4x-5} teñen o mesmo denominador, súmaos mediante a suma dos seus numeradores.

$$\frac{4x\left(4x-5\right)+1}{4x-5}$$

Fai as multiplicacións en 4x\left(4x-5\right)+1.

$$\frac{16x^{2}-20x+1}{4x-5}$$

Diferenciar w.r.t. x

$$\frac{32\left(x-1\right)\left(2x-3\right)}{\left(4x-5\right)^{2}}$$

Pasos que usan a regra de derivada para cociente

Para sumar ou restar expresións, expándeas para facer que os seus denominadores sexan iguais. Multiplica 4x por \frac{4x-5}{4x-5}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{4x\left(4x-5\right)}{4x-5}+\frac{1}{4x-5})$$

Dado que \frac{4x\left(4x-5\right)}{4x-5} e \frac{1}{4x-5} teñen o mesmo denominador, súmaos mediante a suma dos seus numeradores.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{4x\left(4x-5\right)+1}{4x-5})$$

Fai as multiplicacións en 4x\left(4x-5\right)+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{16x^{2}-20x+1}{4x-5})$$

Para dúas funcións diferenciables calquera, a derivada do cociente de dúas funcións é o denominador multiplicado pola derivada do numerador menos o numerador multiplicado pola derivada do denominador, e todo dividido polo denominador ao cadrado.

$$\frac{\left(4x^{1}-5\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(16x^{2}-20x^{1}+1)-\left(16x^{2}-20x^{1}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(4x^{1}-5)}{\left(4x^{1}-5\right)^{2}}$$

A derivada dun polinomio é a suma das derivadas dos seus termos. A derivada de calquera termo constante é 0. A derivada de ax^{n} é nax^{n-1}.

$$\frac{\left(4x^{1}-5\right)\left(2\times 16x^{2-1}-20x^{1-1}\right)-\left(16x^{2}-20x^{1}+1\right)\times 4x^{1-1}}{\left(4x^{1}-5\right)^{2}}$$

Simplifica.

$$\frac{\left(4x^{1}-5\right)\left(32x^{1}-20x^{0}\right)-\left(16x^{2}-20x^{1}+1\right)\times 4x^{0}}{\left(4x^{1}-5\right)^{2}}$$

Multiplica 4x^{1}-5 por 32x^{1}-20x^{0}.

$$\frac{4x^{1}\times 32x^{1}+4x^{1}\left(-20\right)x^{0}-5\times 32x^{1}-5\left(-20\right)x^{0}-\left(16x^{2}-20x^{1}+1\right)\times 4x^{0}}{\left(4x^{1}-5\right)^{2}}$$

Multiplica 16x^{2}-20x^{1}+1 por 4x^{0}.

$$\frac{4x^{1}\times 32x^{1}+4x^{1}\left(-20\right)x^{0}-5\times 32x^{1}-5\left(-20\right)x^{0}-\left(16x^{2}\times 4x^{0}-20x^{1}\times 4x^{0}+4x^{0}\right)}{\left(4x^{1}-5\right)^{2}}$$

Para multiplicar potencias da mesma base, suma os seus expoñentes.

$$\frac{4\times 32x^{1+1}+4\left(-20\right)x^{1}-5\times 32x^{1}-5\left(-20\right)x^{0}-\left(16\times 4x^{2}-20\times 4x^{1}+4x^{0}\right)}{\left(4x^{1}-5\right)^{2}}$$

Simplifica.

$$\frac{128x^{2}-80x^{1}-160x^{1}+100x^{0}-\left(64x^{2}-80x^{1}+4x^{0}\right)}{\left(4x^{1}-5\right)^{2}}$$

Combina termos semellantes.

$$\frac{64x^{2}-160x^{1}+96x^{0}}{\left(4x^{1}-5\right)^{2}}$$

Para calquera termo t, t^{1}=t.

$$\frac{64x^{2}-160x+96x^{0}}{\left(4x-5\right)^{2}}$$

Para calquera termo t agás 0, t^{0}=1.

$$\frac{64x^{2}-160x+96\times 1}{\left(4x-5\right)^{2}}$$

Para calquera termo t, t\times 1=t e 1t=t.

$$\frac{64x^{2}-160x+96}{\left(4x-5\right)^{2}}$$