Resolver f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Calcular

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Pasos da solución

Calcula a integral indefinida primeiro.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Integrar o termo da suma por termo.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Factorizar a constante en cada termo.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Posto que \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int t^{2}\mathrm{d}t por \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Posto que \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int t\mathrm{d}t por \frac{t^{2}}{2}. Multiplica -1 por \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

A integral definida é a primitiva da expresión calculada no límite superior de integración menos a primitiva calculada no límite inferior de integración.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Simplifica.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Diferenciar w.r.t. x

$$x\left(x-1\right)$$