Resolver c^2=4sqrt{c^2+1}

$$c ^ { 2 } = 4 \sqrt { c ^ { 2 } + 1 }$$

Resolver c

$$c=2\sqrt{\sqrt{5}+2}\approx 4.116342055$$

$$c=-2\sqrt{\sqrt{5}+2}\approx -4.116342055$$

Pasos da solución

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(c^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{c^{2}+1}\right)^{2}$$

Para elevar unha potencia a outra potencia, multiplica os expoñentes. Multiplica 2 e 2 para obter 4.

$$c^{4}=\left(4\sqrt{c^{2}+1}\right)^{2}$$

Expande \left(4\sqrt{c^{2}+1}\right)^{2}.

$$c^{4}=4^{2}\left(\sqrt{c^{2}+1}\right)^{2}$$

Calcula 4 á potencia de 2 e obtén 16.

$$c^{4}=16\left(\sqrt{c^{2}+1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{c^{2}+1} á potencia de 2 e obtén c^{2}+1.

$$c^{4}=16\left(c^{2}+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 16 por c^{2}+1.

$$c^{4}=16c^{2}+16$$

Resta 16c^{2} en ambos lados.

$$c^{4}-16c^{2}=16$$

Resta 16 en ambos lados.

$$c^{4}-16c^{2}-16=0$$

Substitúe t por c^{2}.

$$t^{2}-16t-16=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 1 por a, -16 por b e -16 por c na fórmula cadrática.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

Fai os cálculos.

$$t=\frac{16±8\sqrt{5}}{2}$$

Resolve a ecuación t=\frac{16±8\sqrt{5}}{2} cando ± é máis e cando ± é menos.

$$t=4\sqrt{5}+8 t=8-4\sqrt{5}$$

Desde c=t^{2}, as solucións obtéñense mediante a avaliación de c=±\sqrt{t} por t positivo.

$$c=2\sqrt{\sqrt{5}+2} c=-2\sqrt{\sqrt{5}+2}$$

Substitúe c por 2\sqrt{\sqrt{5}+2} na ecuación c^{2}=4\sqrt{c^{2}+1}.

$$\left(2\sqrt{\sqrt{5}+2}\right)^{2}=4\sqrt{\left(2\sqrt{\sqrt{5}+2}\right)^{2}+1}$$

Simplifica. O valor c=2\sqrt{\sqrt{5}+2} cumpre a ecuación.

$$4\times 5^{\frac{1}{2}}+8=4\times 5^{\frac{1}{2}}+8$$

Substitúe c por -2\sqrt{\sqrt{5}+2} na ecuación c^{2}=4\sqrt{c^{2}+1}.

$$\left(-2\sqrt{\sqrt{5}+2}\right)^{2}=4\sqrt{\left(-2\sqrt{\sqrt{5}+2}\right)^{2}+1}$$

Simplifica. O valor c=-2\sqrt{\sqrt{5}+2} cumpre a ecuación.

$$4\times 5^{\frac{1}{2}}+8=4\times 5^{\frac{1}{2}}+8$$

Lista de solucións para c^{2}=4\sqrt{c^{2}+1}.

$$c=2\sqrt{\sqrt{5}+2} c=-2\sqrt{\sqrt{5}+2}$$