Resolver Y^2-7Y+10=0

$$Y ^ { 2 } - 7 Y + 10 = 0$$

Resolver Y

$$Y=2$$

$$Y=5$$

Pasos que usan factorización

Para resolver a ecuación, factoriza Y^{2}-7Y+10 usando fórmulas Y^{2}+\left(a+b\right)Y+ab=\left(Y+a\right)\left(Y+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-7 ab=10$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

A solución é a parella que fornece a suma -7.

$$a=-5 b=-2$$

Reescribe a expresión factorizada \left(Y+a\right)\left(Y+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(Y-5\right)\left(Y-2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve Y-5=0 e Y-2=0.

$$Y=5 Y=2$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como Y^{2}+aY+bY+10. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-7 ab=1\times 10=10$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

A solución é a parella que fornece a suma -7.

$$a=-5 b=-2$$

Reescribe Y^{2}-7Y+10 como \left(Y^{2}-5Y\right)+\left(-2Y+10\right).

$$\left(Y^{2}-5Y\right)+\left(-2Y+10\right)$$

Factoriza Y no primeiro e -2 no grupo segundo.

$$Y\left(Y-5\right)-2\left(Y-5\right)$$

Factoriza o termo común Y-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(Y-5\right)\left(Y-2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve Y-5=0 e Y-2=0.

$$Y=5 Y=2$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$Y^{2}-7Y+10=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -7 e c por 10 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10}}{2}$$

Eleva -7 ao cadrado.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 10}}{2}$$

Multiplica -4 por 10.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40}}{2}$$

Suma 49 a -40.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 9.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±3}{2}$$

O contrario de -7 é 7.

$$Y=\frac{7±3}{2}$$

Agora resolve a ecuación Y=\frac{7±3}{2} se ± é máis. Suma 7 a 3.

$$Y=\frac{10}{2}$$

Divide 10 entre 2.

$$Y=5$$

Agora resolve a ecuación Y=\frac{7±3}{2} se ± é menos. Resta 3 de 7.

$$Y=\frac{4}{2}$$

Divide 4 entre 2.

$$Y=2$$

A ecuación está resolta.

$$Y=5 Y=2$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$Y^{2}-7Y+10=0$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$Y^{2}-7Y+10-10=-10$$

Se restas 10 a si mesmo, quédache 0.

$$Y^{2}-7Y=-10$$

Divide -7, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{7}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{7}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$Y^{2}-7Y+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$Y^{2}-7Y+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Suma -10 a \frac{49}{4}.

$$Y^{2}-7Y+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Factoriza Y^{2}-7Y+\frac{49}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(Y-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(Y-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifica.

$$Y-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} Y-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Suma \frac{7}{2} en ambos lados da ecuación.

$$Y=5 Y=2$$