Resolver 9z^2-42z+49=

$$9 z ^ { 2 } - 42 z + 49 =$$

Factorizar

$$\left(3z-7\right)^{2}$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 9z^{2}+az+bz+49. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-42 ab=9\times 49=441$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 441.

$$-1,-441 -3,-147 -7,-63 -9,-49 -21,-21$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-441=-442 -3-147=-150 -7-63=-70 -9-49=-58 -21-21=-42$$

A solución é a parella que fornece a suma -42.

$$a=-21 b=-21$$

Reescribe 9z^{2}-42z+49 como \left(9z^{2}-21z\right)+\left(-21z+49\right).

$$\left(9z^{2}-21z\right)+\left(-21z+49\right)$$

Factoriza 3z no primeiro e -7 no grupo segundo.

$$3z\left(3z-7\right)-7\left(3z-7\right)$$

Factoriza o termo común 3z-7 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3z-7\right)\left(3z-7\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(3z-7\right)^{2}$$

Pasos que usan cadrado de binomial

Este trinomio ten a forma dun cadrado de trinomio, quizais multiplicado por un factor común. Os cadrados de trinomio pódense factorizar mediante o cálculo das raíces cadradas dos termos primeiro e último.

$$factor(9z^{2}-42z+49)$$

Obtén o máximo común divisor dos coeficientes.

$$gcf(9,-42,49)=1$$

Obtén a raíz cadrada do primeiro termo, 9z^{2}.

$$\sqrt{9z^{2}}=3z$$

Obtén a raíz cadrada do último termo, 49.

$$\sqrt{49}=7$$

O cadrado de trinomio é o cadrado de binomio que é a suma ou a diferenza das raíces cadradas dos termos primeiro e último, co signo determinado polo signo do termo central do cadrado de trinomio.

$$\left(3z-7\right)^{2}$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$9z^{2}-42z+49=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Eleva -42 ao cadrado.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-36\times 49}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por 49.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-1764}}{2\times 9}$$

Suma 1764 a -1764.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±0}{2\times 9}$$

O contrario de -42 é 42.

$$z=\frac{42±0}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$z=\frac{42±0}{18}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{7}{3} por x_{1} e \frac{7}{3} por x_{2}.

$$9z^{2}-42z+49=9\left(z-\frac{7}{3}\right)\left(z-\frac{7}{3}\right)$$

Resta \frac{7}{3} de z mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$9z^{2}-42z+49=9\times \frac{3z-7}{3}\left(z-\frac{7}{3}\right)$$

Resta \frac{7}{3} de z mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$9z^{2}-42z+49=9\times \frac{3z-7}{3}\times \frac{3z-7}{3}$$

Multiplica \frac{3z-7}{3} por \frac{3z-7}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$9z^{2}-42z+49=9\times \frac{\left(3z-7\right)\left(3z-7\right)}{3\times 3}$$

Multiplica 3 por 3.

$$9z^{2}-42z+49=9\times \frac{\left(3z-7\right)\left(3z-7\right)}{9}$$

Descarta o máximo común divisor 9 en 9 e 9.

$$9z^{2}-42z+49=\left(3z-7\right)\left(3z-7\right)$$

Calcular

$$\left(3z-7\right)^{2}$$