Resolver 9y^2-30y=-25

$$9 y ^ { 2 } - 30 y = - 25$$

Resolver y

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Engadir 25 en ambos lados.

$$9y^{2}-30y+25=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 9y^{2}+ay+by+25. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

A solución é a parella que fornece a suma -30.

$$a=-15 b=-15$$

Reescribe 9y^{2}-30y+25 como \left(9y^{2}-15y\right)+\left(-15y+25\right).

$$\left(9y^{2}-15y\right)+\left(-15y+25\right)$$

Factoriza 3y no primeiro e -5 no grupo segundo.

$$3y\left(3y-5\right)-5\left(3y-5\right)$$

Factoriza o termo común 3y-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3y-5\right)\left(3y-5\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(3y-5\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve 3y-5=0.

$$y=\frac{5}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$9y^{2}-30y=-25$$

Suma 25 en ambos lados da ecuación.

$$9y^{2}-30y-\left(-25\right)=-25-\left(-25\right)$$

Se restas -25 a si mesmo, quédache 0.

$$9y^{2}-30y-\left(-25\right)=0$$

Resta -25 de 0.

$$9y^{2}-30y+25=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 9, b por -30 e c por 25 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Eleva -30 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$y=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por 25.

$$y=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Suma 900 a -900.

$$y=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$y=-\frac{-30}{2\times 9}$$

O contrario de -30 é 30.

$$y=\frac{30}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$y=\frac{30}{18}$$

Reduce a fracción \frac{30}{18} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$y=\frac{5}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-30y=-25$$

Divide ambos lados entre 9.

$$\frac{9y^{2}-30y}{9}=-\frac{25}{9}$$

A división entre 9 desfai a multiplicación por 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)y=-\frac{25}{9}$$

Reduce a fracción \frac{-30}{9} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$y^{2}-\frac{10}{3}y=-\frac{25}{9}$$

Divide -\frac{10}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{5}{3}. Despois, suma o cadrado de -\frac{5}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}-\frac{10}{3}y+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$y^{2}-\frac{10}{3}y+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Suma -\frac{25}{9} a \frac{25}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y^{2}-\frac{10}{3}y+\frac{25}{9}=0$$

Factoriza y^{2}-\frac{10}{3}y+\frac{25}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$y-\frac{5}{3}=0 y-\frac{5}{3}=0$$

Suma \frac{5}{3} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{5}{3} y=\frac{5}{3}$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$y=\frac{5}{3}$$