Resolver 9y^2-12y+4

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4$$

Factorizar

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 9y^{2}+ay+by+4. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

A solución é a parella que fornece a suma -12.

$$a=-6 b=-6$$

Reescribe 9y^{2}-12y+4 como \left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right).

$$\left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right)$$

Factoriza 3y no primeiro e -2 no grupo segundo.

$$3y\left(3y-2\right)-2\left(3y-2\right)$$

Factoriza o termo común 3y-2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Pasos que usan cadrado de binomial

Este trinomio ten a forma dun cadrado de trinomio, quizais multiplicado por un factor común. Os cadrados de trinomio pódense factorizar mediante o cálculo das raíces cadradas dos termos primeiro e último.

$$factor(9y^{2}-12y+4)$$

Obtén o máximo común divisor dos coeficientes.

$$gcf(9,-12,4)=1$$

Obtén a raíz cadrada do primeiro termo, 9y^{2}.

$$\sqrt{9y^{2}}=3y$$

Obtén a raíz cadrada do último termo, 4.

$$\sqrt{4}=2$$

O cadrado de trinomio é o cadrado de binomio que é a suma ou a diferenza das raíces cadradas dos termos primeiro e último, co signo determinado polo signo do termo central do cadrado de trinomio.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Eleva -12 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Suma 144 a -144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±0}{2\times 9}$$

O contrario de -12 é 12.

$$y=\frac{12±0}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$y=\frac{12±0}{18}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{2}{3} por x_{1} e \frac{2}{3} por x_{2}.

$$9y^{2}-12y+4=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\frac{2}{3}\right)$$

Resta \frac{2}{3} de y mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y-\frac{2}{3}\right)$$

Resta \frac{2}{3} de y mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{3y-2}{3}\times \frac{3y-2}{3}$$

Multiplica \frac{3y-2}{3} por \frac{3y-2}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)}{3\times 3}$$

Multiplica 3 por 3.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)}{9}$$

Descarta o máximo común divisor 9 en 9 e 9.

$$9y^{2}-12y+4=\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Calcular

$$\left(3y-2\right)^{2}$$