Resolver 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Resolver y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1.138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0.195262146$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 9, b por -12 e c por 2 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Eleva -12 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Suma 144 a -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Obtén a raíz cadrada de 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

O contrario de -12 é 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} se ± é máis. Suma 12 a 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Divide 12+6\sqrt{2} entre 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} se ± é menos. Resta 6\sqrt{2} de 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Divide 12-6\sqrt{2} entre 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Se restas 2 a si mesmo, quédache 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Divide ambos lados entre 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

A división entre 9 desfai a multiplicación por 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Reduce a fracción \frac{-12}{9} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Divide -\frac{4}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{2}{3}. Despois, suma o cadrado de -\frac{2}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{2}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Suma -\frac{2}{9} a \frac{4}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Factoriza y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Simplifica.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Suma \frac{2}{3} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$