Resolver 9x^2-x-890=0

$$9 x ^ { 2 } - x - 890 = 0$$

Resolver x

$$x = -\frac{89}{9} = -9\frac{8}{9} \approx -9.888888889$$

$$x=10$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 9x^{2}+ax+bx-890. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-1 ab=9\left(-890\right)=-8010$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -8010.

$$1,-8010 2,-4005 3,-2670 5,-1602 6,-1335 9,-890 10,-801 15,-534 18,-445 30,-267 45,-178 89,-90$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-8010=-8009 2-4005=-4003 3-2670=-2667 5-1602=-1597 6-1335=-1329 9-890=-881 10-801=-791 15-534=-519 18-445=-427 30-267=-237 45-178=-133 89-90=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -1.

$$a=-90 b=89$$

Reescribe 9x^{2}-x-890 como \left(9x^{2}-90x\right)+\left(89x-890\right).

$$\left(9x^{2}-90x\right)+\left(89x-890\right)$$

Factoriza 9x no primeiro e 89 no grupo segundo.

$$9x\left(x-10\right)+89\left(x-10\right)$$

Factoriza o termo común x-10 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(9x+89\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-10=0 e 9x+89=0.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$9x^{2}-x-890=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 9, b por -1 e c por -890 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 9\left(-890\right)}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-36\left(-890\right)}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por -890.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+32040}}{2\times 9}$$

Suma 1 a 32040.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{32041}}{2\times 9}$$

Obtén a raíz cadrada de 32041.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±179}{2\times 9}$$

O contrario de -1 é 1.

$$x=\frac{1±179}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$x=\frac{1±179}{18}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{1±179}{18} se ± é máis. Suma 1 a 179.

$$x=\frac{180}{18}$$

Divide 180 entre 18.

$$x=10$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{1±179}{18} se ± é menos. Resta 179 de 1.

$$x=-\frac{178}{18}$$

Reduce a fracción \frac{-178}{18} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{89}{9}$$

A ecuación está resolta.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-x-890=0$$

Suma 890 en ambos lados da ecuación.

$$9x^{2}-x-890-\left(-890\right)=-\left(-890\right)$$

Se restas -890 a si mesmo, quédache 0.

$$9x^{2}-x=-\left(-890\right)$$

Resta -890 de 0.

$$9x^{2}-x=890$$

Divide ambos lados entre 9.

$$\frac{9x^{2}-x}{9}=\frac{890}{9}$$

A división entre 9 desfai a multiplicación por 9.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x=\frac{890}{9}$$

Divide -\frac{1}{9}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{18}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{18} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\left(-\frac{1}{18}\right)^{2}=\frac{890}{9}+\left(-\frac{1}{18}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{18} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=\frac{890}{9}+\frac{1}{324}$$

Suma \frac{890}{9} a \frac{1}{324} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=\frac{32041}{324}$$

Factoriza x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{18}\right)^{2}=\frac{32041}{324}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{32041}{324}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{18}=\frac{179}{18} x-\frac{1}{18}=-\frac{179}{18}$$

Suma \frac{1}{18} en ambos lados da ecuación.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$