Resolver 9x^2-4x-69

$$9 x ^ { 2 } - 4 x - 69$$

Factorizar

$$\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 9x^{2}+ax+bx-69. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-4 ab=9\left(-69\right)=-621$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -621.

$$1,-621 3,-207 9,-69 23,-27$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-621=-620 3-207=-204 9-69=-60 23-27=-4$$

A solución é a parella que fornece a suma -4.

$$a=-27 b=23$$

Reescribe 9x^{2}-4x-69 como \left(9x^{2}-27x\right)+\left(23x-69\right).

$$\left(9x^{2}-27x\right)+\left(23x-69\right)$$

Factoriza 9x no primeiro e 23 no grupo segundo.

$$9x\left(x-3\right)+23\left(x-3\right)$$

Factoriza o termo común x-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$9x^{2}-4x-69=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9\left(-69\right)}}{2\times 9}$$

Eleva -4 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9\left(-69\right)}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36\left(-69\right)}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por -69.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+2484}}{2\times 9}$$

Suma 16 a 2484.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{2500}}{2\times 9}$$

Obtén a raíz cadrada de 2500.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±50}{2\times 9}$$

O contrario de -4 é 4.

$$x=\frac{4±50}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$x=\frac{4±50}{18}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{4±50}{18} se ± é máis. Suma 4 a 50.

$$x=\frac{54}{18}$$

Divide 54 entre 18.

$$x=3$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{4±50}{18} se ± é menos. Resta 50 de 4.

$$x=-\frac{46}{18}$$

Reduce a fracción \frac{-46}{18} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{23}{9}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe 3 por x_{1} e -\frac{23}{9} por x_{2}.

$$9x^{2}-4x-69=9\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{23}{9}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$9x^{2}-4x-69=9\left(x-3\right)\left(x+\frac{23}{9}\right)$$

Suma \frac{23}{9} a x mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$9x^{2}-4x-69=9\left(x-3\right)\times \frac{9x+23}{9}$$

Descarta o máximo común divisor 9 en 9 e 9.

$$9x^{2}-4x-69=\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$

Calcular

$$\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$