Resolver 9x^2+42x+49=0

$$9 x ^ { 2 } + 42 x + 49 = 0$$

Resolver x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 9x^{2}+ax+bx+49. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=42 ab=9\times 49=441$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 441.

$$1,441 3,147 7,63 9,49 21,21$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+441=442 3+147=150 7+63=70 9+49=58 21+21=42$$

A solución é a parella que fornece a suma 42.

$$a=21 b=21$$

Reescribe 9x^{2}+42x+49 como \left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right).

$$\left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e 7 no grupo segundo.

$$3x\left(3x+7\right)+7\left(3x+7\right)$$

Factoriza o termo común 3x+7 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x+7\right)\left(3x+7\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(3x+7\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve 3x+7=0.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 9, b por 42 e c por 49 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Eleva 42 ao cadrado.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-36\times 49}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por 49.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-1764}}{2\times 9}$$

Suma 1764 a -1764.

$$x=\frac{-42±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$x=-\frac{42}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Reduce a fracción \frac{-42}{18} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

Resta 49 en ambos lados da ecuación.

$$9x^{2}+42x+49-49=-49$$

Se restas 49 a si mesmo, quédache 0.

$$9x^{2}+42x=-49$$

Divide ambos lados entre 9.

$$\frac{9x^{2}+42x}{9}=-\frac{49}{9}$$

A división entre 9 desfai a multiplicación por 9.

$$x^{2}+\frac{42}{9}x=-\frac{49}{9}$$

Reduce a fracción \frac{42}{9} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=-\frac{49}{9}$$

Divide \frac{14}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{7}{3}. Despois, suma o cadrado de \frac{7}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{49}{9}+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{-49+49}{9}$$

Suma -\frac{49}{9} a \frac{49}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=0$$

Factoriza x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$x+\frac{7}{3}=0 x+\frac{7}{3}=0$$

Resta \frac{7}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{7}{3}$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$x=-\frac{7}{3}$$