Resolver 9x^2+30x+25=0

$$9 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Resolver x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 9x^{2}+ax+bx+25. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=30 ab=9\times 25=225$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 225.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

A solución é a parella que fornece a suma 30.

$$a=15 b=15$$

Reescribe 9x^{2}+30x+25 como \left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right).

$$\left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$3x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

Factoriza o termo común 3x+5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x+5\right)\left(3x+5\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(3x+5\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve 3x+5=0.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 9, b por 30 e c por 25 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Eleva 30 ao cadrado.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Suma 900 a -900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$x=-\frac{30}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Reduce a fracción \frac{-30}{18} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

Resta 25 en ambos lados da ecuación.

$$9x^{2}+30x+25-25=-25$$

Se restas 25 a si mesmo, quédache 0.

$$9x^{2}+30x=-25$$

Divide ambos lados entre 9.

$$\frac{9x^{2}+30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

A división entre 9 desfai a multiplicación por 9.

$$x^{2}+\frac{30}{9}x=-\frac{25}{9}$$

Reduce a fracción \frac{30}{9} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Divide \frac{10}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{5}{3}. Despois, suma o cadrado de \frac{5}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Suma -\frac{25}{9} a \frac{25}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Factoriza x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$x+\frac{5}{3}=0 x+\frac{5}{3}=0$$

Resta \frac{5}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{5}{3} x=-\frac{5}{3}$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$x=-\frac{5}{3}$$