Resolver 9t^2+6t+1=0

$$9 t ^ { 2 } + 6 t + 1 = 0$$

Resolver t

$$t=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 9t^{2}+at+bt+1. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 9.

$$1,9 3,3$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+9=10 3+3=6$$

A solución é a parella que fornece a suma 6.

$$a=3 b=3$$

Reescribe 9t^{2}+6t+1 como \left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right).

$$\left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right)$$

Factorizar 3t en 9t^{2}+3t.

$$3t\left(3t+1\right)+3t+1$$

Factoriza o termo común 3t+1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3t+1\right)\left(3t+1\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(3t+1\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve 3t+1=0.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 9, b por 6 e c por 1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Eleva 6 ao cadrado.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

Suma 36 a -36.

$$t=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$t=-\frac{6}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$t=-\frac{6}{18}$$

Reduce a fracción \frac{-6}{18} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$9t^{2}+6t+1-1=-1$$

Se restas 1 a si mesmo, quédache 0.

$$9t^{2}+6t=-1$$

Divide ambos lados entre 9.

$$\frac{9t^{2}+6t}{9}=-\frac{1}{9}$$

A división entre 9 desfai a multiplicación por 9.

$$t^{2}+\frac{6}{9}t=-\frac{1}{9}$$

Reduce a fracción \frac{6}{9} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t=-\frac{1}{9}$$

Divide \frac{2}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{3}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Suma -\frac{1}{9} a \frac{1}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=0$$

Factoriza t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$t+\frac{1}{3}=0 t+\frac{1}{3}=0$$

Resta \frac{1}{3} en ambos lados da ecuación.

$$t=-\frac{1}{3} t=-\frac{1}{3}$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$t=-\frac{1}{3}$$