Resolver 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Resolver n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 3n^{2} en ambos lados.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combina 9n^{2} e -3n^{2} para obter 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 6n^{2}+an+bn+20. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

A solución é a parella que fornece a suma -23.

$$a=-15 b=-8$$

Reescribe 6n^{2}-23n+20 como \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Factoriza 3n no primeiro e -4 no grupo segundo.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Factoriza o termo común 2n-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2n-5=0 e 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Resta 3n^{2} en ambos lados.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combina 9n^{2} e -3n^{2} para obter 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 6, b por -23 e c por 20 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Eleva -23 ao cadrado.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Multiplica -4 por 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Multiplica -24 por 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Suma 529 a -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Obtén a raíz cadrada de 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

O contrario de -23 é 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Multiplica 2 por 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{23±7}{12} se ± é máis. Suma 23 a 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Reduce a fracción \frac{30}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{23±7}{12} se ± é menos. Resta 7 de 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Reduce a fracción \frac{16}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

Resta 3n^{2} en ambos lados.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combina 9n^{2} e -3n^{2} para obter 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Resta 20 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Divide ambos lados entre 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

A división entre 6 desfai a multiplicación por 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Reduce a fracción \frac{-20}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Divide -\frac{23}{6}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{23}{12}. Despois, suma o cadrado de -\frac{23}{12} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{23}{12} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Suma -\frac{10}{3} a \frac{529}{144} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Factoriza n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Suma \frac{23}{12} en ambos lados da ecuación.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$