Resolver 9a^2+24a+16=0

$$9 a ^ { 2 } + 24 a + 16 = 0$$

Resolver a

$$a = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 9a^{2}+aa+ba+16. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=24 ab=9\times 16=144$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

A solución é a parella que fornece a suma 24.

$$a=12 b=12$$

Reescribe 9a^{2}+24a+16 como \left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right).

$$\left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right)$$

Factoriza 3a no primeiro e 4 no grupo segundo.

$$3a\left(3a+4\right)+4\left(3a+4\right)$$

Factoriza o termo común 3a+4 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3a+4\right)\left(3a+4\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(3a+4\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve 3a+4=0.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 9, b por 24 e c por 16 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Eleva 24 ao cadrado.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por 16.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Suma 576 a -576.

$$a=\frac{-24±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$a=-\frac{24}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$a=-\frac{24}{18}$$

Reduce a fracción \frac{-24}{18} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$9a^{2}+24a+16-16=-16$$

Se restas 16 a si mesmo, quédache 0.

$$9a^{2}+24a=-16$$

Divide ambos lados entre 9.

$$\frac{9a^{2}+24a}{9}=-\frac{16}{9}$$

A división entre 9 desfai a multiplicación por 9.

$$a^{2}+\frac{24}{9}a=-\frac{16}{9}$$

Reduce a fracción \frac{24}{9} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a=-\frac{16}{9}$$

Divide \frac{8}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{4}{3}. Despois, suma o cadrado de \frac{4}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{4}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Suma -\frac{16}{9} a \frac{16}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=0$$

Factoriza a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$a+\frac{4}{3}=0 a+\frac{4}{3}=0$$

Resta \frac{4}{3} en ambos lados da ecuación.

$$a=-\frac{4}{3} a=-\frac{4}{3}$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$a=-\frac{4}{3}$$