Resolver 9(2x-1)^2-16(3x+1)^2=0

$$9 ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } - 16 ( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 0$$

Resolver x

$$x=-\frac{1}{18}\approx -0.055555556$$

$$x = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-1\right)^{2}.

$$9\left(4x^{2}-4x+1\right)-16\left(3x+1\right)^{2}=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 9 por 4x^{2}-4x+1.

$$36x^{2}-36x+9-16\left(3x+1\right)^{2}=0$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3x+1\right)^{2}.

$$36x^{2}-36x+9-16\left(9x^{2}+6x+1\right)=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -16 por 9x^{2}+6x+1.

$$36x^{2}-36x+9-144x^{2}-96x-16=0$$

Combina 36x^{2} e -144x^{2} para obter -108x^{2}.

$$-108x^{2}-36x+9-96x-16=0$$

Combina -36x e -96x para obter -132x.

$$-108x^{2}-132x+9-16=0$$

Resta 16 de 9 para obter -7.

$$-108x^{2}-132x-7=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -108x^{2}+ax+bx-7. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-132 ab=-108\left(-7\right)=756$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 756.

$$-1,-756 -2,-378 -3,-252 -4,-189 -6,-126 -7,-108 -9,-84 -12,-63 -14,-54 -18,-42 -21,-36 -27,-28$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-756=-757 -2-378=-380 -3-252=-255 -4-189=-193 -6-126=-132 -7-108=-115 -9-84=-93 -12-63=-75 -14-54=-68 -18-42=-60 -21-36=-57 -27-28=-55$$

A solución é a parella que fornece a suma -132.

$$a=-6 b=-126$$

Reescribe -108x^{2}-132x-7 como \left(-108x^{2}-6x\right)+\left(-126x-7\right).

$$\left(-108x^{2}-6x\right)+\left(-126x-7\right)$$

Factoriza 6x no primeiro e 7 no grupo segundo.

$$6x\left(-18x-1\right)+7\left(-18x-1\right)$$

Factoriza o termo común -18x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(-18x-1\right)\left(6x+7\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve -18x-1=0 e 6x+7=0.

$$x=-\frac{1}{18} x=-\frac{7}{6}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-1\right)^{2}.

$$9\left(4x^{2}-4x+1\right)-16\left(3x+1\right)^{2}=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 9 por 4x^{2}-4x+1.

$$36x^{2}-36x+9-16\left(3x+1\right)^{2}=0$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3x+1\right)^{2}.

$$36x^{2}-36x+9-16\left(9x^{2}+6x+1\right)=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -16 por 9x^{2}+6x+1.

$$36x^{2}-36x+9-144x^{2}-96x-16=0$$

Combina 36x^{2} e -144x^{2} para obter -108x^{2}.

$$-108x^{2}-36x+9-96x-16=0$$

Combina -36x e -96x para obter -132x.

$$-108x^{2}-132x+9-16=0$$

Resta 16 de 9 para obter -7.

$$-108x^{2}-132x-7=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -108, b por -132 e c por -7 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-132\right)±\sqrt{\left(-132\right)^{2}-4\left(-108\right)\left(-7\right)}}{2\left(-108\right)}$$

Eleva -132 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-132\right)±\sqrt{17424-4\left(-108\right)\left(-7\right)}}{2\left(-108\right)}$$

Multiplica -4 por -108.

$$x=\frac{-\left(-132\right)±\sqrt{17424+432\left(-7\right)}}{2\left(-108\right)}$$

Multiplica 432 por -7.

$$x=\frac{-\left(-132\right)±\sqrt{17424-3024}}{2\left(-108\right)}$$

Suma 17424 a -3024.

$$x=\frac{-\left(-132\right)±\sqrt{14400}}{2\left(-108\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 14400.

$$x=\frac{-\left(-132\right)±120}{2\left(-108\right)}$$

O contrario de -132 é 132.

$$x=\frac{132±120}{2\left(-108\right)}$$

Multiplica 2 por -108.

$$x=\frac{132±120}{-216}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{132±120}{-216} se ± é máis. Suma 132 a 120.

$$x=\frac{252}{-216}$$

Reduce a fracción \frac{252}{-216} a termos máis baixos extraendo e cancelando 36.

$$x=-\frac{7}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{132±120}{-216} se ± é menos. Resta 120 de 132.

$$x=\frac{12}{-216}$$

Reduce a fracción \frac{12}{-216} a termos máis baixos extraendo e cancelando 12.

$$x=-\frac{1}{18}$$

A ecuación está resolta.

$$x=-\frac{7}{6} x=-\frac{1}{18}$$

Pasos para completar o cadrado

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-1\right)^{2}.

$$9\left(4x^{2}-4x+1\right)-16\left(3x+1\right)^{2}=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 9 por 4x^{2}-4x+1.

$$36x^{2}-36x+9-16\left(3x+1\right)^{2}=0$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3x+1\right)^{2}.

$$36x^{2}-36x+9-16\left(9x^{2}+6x+1\right)=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -16 por 9x^{2}+6x+1.

$$36x^{2}-36x+9-144x^{2}-96x-16=0$$

Combina 36x^{2} e -144x^{2} para obter -108x^{2}.

$$-108x^{2}-36x+9-96x-16=0$$

Combina -36x e -96x para obter -132x.

$$-108x^{2}-132x+9-16=0$$

Resta 16 de 9 para obter -7.

$$-108x^{2}-132x-7=0$$

Engadir 7 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$-108x^{2}-132x=7$$

Divide ambos lados entre -108.

$$\frac{-108x^{2}-132x}{-108}=\frac{7}{-108}$$

A división entre -108 desfai a multiplicación por -108.

$$x^{2}+\left(-\frac{132}{-108}\right)x=\frac{7}{-108}$$

Reduce a fracción \frac{-132}{-108} a termos máis baixos extraendo e cancelando 12.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{7}{-108}$$

Divide 7 entre -108.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=-\frac{7}{108}$$

Divide \frac{11}{9}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{11}{18}. Despois, suma o cadrado de \frac{11}{18} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}=-\frac{7}{108}+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}$$

Eleva \frac{11}{18} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=-\frac{7}{108}+\frac{121}{324}$$

Suma -\frac{7}{108} a \frac{121}{324} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{25}{81}$$

Factoriza x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{25}{81}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{81}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{11}{18}=\frac{5}{9} x+\frac{11}{18}=-\frac{5}{9}$$

Resta \frac{11}{18} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{1}{18} x=-\frac{7}{6}$$