Resolver 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Resolver x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 9x^{2}+ax+bx+25. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

A solución é a parella que fornece a suma -30.

$$a=-15 b=-15$$

Reescribe 9x^{2}-30x+25 como \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e -5 no grupo segundo.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Factoriza o termo común 3x-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 9, b por -30 e c por 25 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Eleva -30 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Suma 900 a -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

O contrario de -30 é 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Reduce a fracción \frac{30}{18} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Resta 25 en ambos lados da ecuación.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Se restas 25 a si mesmo, quédache 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Divide ambos lados entre 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

A división entre 9 desfai a multiplicación por 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Reduce a fracción \frac{-30}{9} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Divide -\frac{10}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{5}{3}. Despois, suma o cadrado de -\frac{5}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Suma -\frac{25}{9} a \frac{25}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Factoriza x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Suma \frac{5}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$x=\frac{5}{3}$$