Resolver 9x^2+7x-2=0

$$9 { x }^{ 2 } +7x-2=0$$

Resolver x

$$x=-1$$

$$x=\frac{2}{9}\approx 0.222222222$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 9x^{2}+ax+bx-2. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=7 ab=9\left(-2\right)=-18$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

A solución é a parella que fornece a suma 7.

$$a=-2 b=9$$

Reescribe 9x^{2}+7x-2 como \left(9x^{2}-2x\right)+\left(9x-2\right).

$$\left(9x^{2}-2x\right)+\left(9x-2\right)$$

Factorizar x en 9x^{2}-2x.

$$x\left(9x-2\right)+9x-2$$

Factoriza o termo común 9x-2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(9x-2\right)\left(x+1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 9x-2=0 e x+1=0.

$$x=\frac{2}{9} x=-1$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$9x^{2}+7x-2=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 9, b por 7 e c por -2 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Eleva 7 ao cadrado.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+72}}{2\times 9}$$

Suma 49 a 72.

$$x=\frac{-7±\sqrt{121}}{2\times 9}$$

Obtén a raíz cadrada de 121.

$$x=\frac{-7±11}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$x=\frac{-7±11}{18}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-7±11}{18} se ± é máis. Suma -7 a 11.

$$x=\frac{4}{18}$$

Reduce a fracción \frac{4}{18} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{2}{9}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-7±11}{18} se ± é menos. Resta 11 de -7.

$$x=-\frac{18}{18}$$

Divide -18 entre 18.

$$x=-1$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{2}{9} x=-1$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x-2=0$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$9x^{2}+7x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Se restas -2 a si mesmo, quédache 0.

$$9x^{2}+7x=-\left(-2\right)$$

Resta -2 de 0.

$$9x^{2}+7x=2$$

Divide ambos lados entre 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{2}{9}$$

A división entre 9 desfai a multiplicación por 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{2}{9}$$

Divide \frac{7}{9}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{7}{18}. Despois, suma o cadrado de \frac{7}{18} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{2}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{18} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{2}{9}+\frac{49}{324}$$

Suma \frac{2}{9} a \frac{49}{324} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{121}{324}$$

Factoriza x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{121}{324}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{324}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{11}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{11}{18}$$

Resta \frac{7}{18} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{2}{9} x=-1$$